1. 引言

計(jì)算圓柱軸承特性時(shí)，一般先由Reynold方程解出壓力分布，然后積分求出承載力、阻力、流量等。為簡(jiǎn)化求解數(shù)學(xué)模型，以定常工況下運(yùn)轉(zhuǎn)，即：轉(zhuǎn)子載荷和轉(zhuǎn)速等均不隨時(shí)間而變，且具有等溫膜的油潤(rùn)滑(μ=常數(shù)，ρ=常數(shù))的軸承等基本情況為例，應(yīng)用無(wú)限寬軸承理論，可近似計(jì)算圓柱軸承油膜壓力分布以及靜特性。

2. 無(wú)限寬軸承理論

當(dāng)軸承寬度l遠(yuǎn)大于直徑d時(shí)，可近似認(rèn)為油膜內(nèi)無(wú)軸向流動(dòng)，壓力沿軸向均布，于是無(wú)量綱Reynold方程簡(jiǎn)化為如下常微分方程(一維Reynold方程)：

經(jīng)連續(xù)積分，并引入初始邊界條件：φ=0處，P=0，于是：

式中，Hm表示最大壓力Pmax處的油膜厚度，且Hm厚隨著采用終止邊界條件的不同而不同。

φ與ψ的變換關(guān)系為:

2.1 Sommerfeld條件

引入Sommerfeld邊界條件，設(shè)油膜整周均布破裂，則P為周期函數(shù)：

顯然，式(2)中非周期函數(shù)ψ的系數(shù)為0，即：

則可得Sommerfeld邊界條件圓柱軸瓦油膜壓力：

取微面積：

將微面積上力沿偏心方向及垂直方向兩個(gè)分量依次積分，即得油膜壓力的合力的兩個(gè)分量如圖1所示。

圖1 油膜力及其分量

積分后得油膜合力兩分量的無(wú)量綱值：

無(wú)量綱油膜壓力合力為：

據(jù)式(9)施用Sommerfeld邊界條件的結(jié)果是油膜合力的方向總是垂直于偏心方向，雖然偏心率不同，但偏位角θ恒等于90°。

2.2 半Sommerfeld條件

若采用半Sommerfeld條件，則終止邊界條件為：

圓柱軸瓦油膜壓力：

其壓力合成的無(wú)量綱力為：

矢量合成無(wú)量綱油膜壓力合力：

顯然，偏位角θ不再恒等于90°，其解析式：

2. Matlab求解計(jì)算及分析

據(jù)式(6)和(12)利用Matlab數(shù)值計(jì)算軟件編程計(jì)算，解得Sommerfeld條件以及半Sommerfeld條件的油膜壓力分布分別如圖2、圖3所示。

由于Sommerfeld邊界條件不考慮油液軸向流動(dòng)，因而其解與實(shí)際情況相差甚遠(yuǎn)。較之于Sommerfeld條件解，半Sommerfeld條件解恰為其解得0~π半周內(nèi)的正壓分布。

圖2  Sommerfeld條件油膜壓力分布圖

圖3  Sommerfeld條件油膜壓力分布圖

取不同偏心率，軸承油膜周向壓力分布如圖4、圖5所示。半Sommerfeld條件解依然為Sommerfeld條件解得0~π半周內(nèi)的正壓分布。

圖4  Sommerfeld條件周向油膜壓力

圖5  半Sommerfeld條件周向油膜壓力

再據(jù)式(8)~(11)，以及式(8)~(16)，解得兩種邊界條件下油膜無(wú)量綱承載隨偏心率的變化曲線，如圖6所示。

據(jù)此可知，偏心率越大，油膜承載峰值越大，承載能力越強(qiáng)，符合液體動(dòng)壓軸承經(jīng)典理論。

圖6 無(wú)量綱承載-偏心率變化關(guān)系

偏位角隨偏心率的變化關(guān)系如圖7所示。

圖7 偏位角-偏心率變化關(guān)系

3. 結(jié)論

在過(guò)去的100多年里，研究者們對(duì)軸承潤(rùn)滑性能進(jìn)行了大量的探索研究，限于當(dāng)時(shí)缺乏的先進(jìn)的數(shù)值求解方法和計(jì)算技術(shù)，研究者們只能通過(guò)將軸承簡(jiǎn)化為無(wú)限寬或無(wú)限窄的情況來(lái)求解軸承的潤(rùn)滑性能，顯然這種解析解得到的結(jié)果與實(shí)際的軸承運(yùn)行數(shù)據(jù)有較大的出入。雖與實(shí)際情況相差較遠(yuǎn)，但其求解思路及方法對(duì)后來(lái)者學(xué)習(xí)、探索液體動(dòng)壓軸承理論依然有著重要價(jià)值。